Гиперболические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

[править | править код]

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический косинус:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический тангенс:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический котангенс:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический секанс:

Гиперболический секанс иногда также обозначается как .

  • гиперболический косеканс:

Геометрическое определение

[править | править код]
Определение гиперболических функций через гиперболу
Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: , где — ордината точки гиперболы, соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Связь с тригонометрическими функциями

[править | править код]

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

[править | править код]
  1. Чётность/нечётность:
  2. Формулы сложения:
  3. Формулы двойного аргумента:
  4. Формулы кратных аргументов:
  5. Произведения:
  6. Суммы:
  7. Формулы понижения степени:
  8. Разложение на множители:
  9. Производные:
Функция Производная Примечание
  1. Интегралы:
    См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
  2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:

Неравенства

[править | править код]

Для всех выполняется:

Разложение в степенные ряды

[править | править код]
(Ряд Лорана)

Здесь числа Бернулли, числа Эйлера.

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
sh, ch и th
csch, sech и cth

Аналитические свойства

[править | править код]

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

[править | править код]

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

  • — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
  • — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
  • — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
  • — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
  • — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение также удовлетворяет уравнению , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
  • — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.
arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

где iмнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, пишут как (причём обозначает другую функцию — ), и т. д.

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: , . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения , , в русскоязычной литературе закрепились обозначения , в англоязычной закрепились .

Применение

[править | править код]

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

Литература

[править | править код]
  • Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.
  • Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
  • А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.