Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции
в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть
.
Для функции, зависящей от одной независимой переменной
второй и третий дифференциалы выглядят так:
,
.
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции
, при условии, что
— независимая переменная:
.
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что
есть произвольное и не зависящее от
, которое при дифференцировании по
следует рассматривать как постоянный множитель. Если
не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже)[1].
Если функция
имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:
.
![{\displaystyle d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0550eb6d38f1cf87d89d9c381379b482fc7725)
![{\displaystyle =\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy\right)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c8d402249e3bd6ad3bcab7eba68e658f28d754)
![{\displaystyle d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b45bef472ce5afd39147794a3cff0daee24393)
![{\displaystyle d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848974bec7cc5d644d5ef7613e399b81fc94b193)
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции
выглядит следующим образом:
![{\displaystyle d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r}}}dx_{r}\right)^{n}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1d617eea601fc8a41ca752d1aef07af5ced0df)
где
, а
произвольные приращения независимых переменных
.
Приращения
рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.
Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
При
-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение
зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная
как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,
.
Так, для независимой переменной
второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:
![{\displaystyle d^{2}z=z''(dx)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0989f366448b6c4b3edec7344d9a3ec5c84cb55e)
Если же переменная
сама может зависеть от других переменных, то
. В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид[1]:
.
Аналогично, третий дифференциал примет вид:
.
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При
и
:
- если
— независимая переменная, то ![{\displaystyle d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e120c33a40ed2609d5de0209466b10226c85d4c)
- если
и
![{\displaystyle 6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab57389e783476742d75f46aada7e1f537a0cf8)
- при этом,
и ![{\displaystyle d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9da1cf6283758cc9ed1d9c28b7f2e83a6794a3)
С учётом зависимости
, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.
- С помощью дифференциалов, функция
при условии существования её
первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
- для функции с одной переменной:
,
;
- для функции с несколькими переменными:
, ![{\displaystyle (0<\theta <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66ca40393f30df00bdd4605426dc6d2d49d726c)
- Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции
является положительно определённым[англ.] (отрицательно определённым), то точка
является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции
является неопределённым, то в точке
нет экстремума.
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1