Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Случай известной дисперсии

[править | править код]

Пусть  — независимая выборка из нормального распределения, где  — известная дисперсия. Определим произвольное и построим доверительный интервал для неизвестного среднего .

Утверждение. Случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение . Пусть  — это -квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестной дисперсии

[править | править код]

Пусть  — независимая выборка из нормального распределения, где  — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего .

Утверждение. Случайная величина

,

где  — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с степенями свободы . Пусть  — -квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для и несложных алгебраических преобразований получаем:

.