Избыточное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Избыточное число — положительное целое число , сумма положительных собственных делителей (отличных от ) которого превышает .

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.

Первые избыточные числа[1]:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина , где  — сумма делителей числа (для совершенных чисел ).

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность минимальных чисел , таких что [2].

Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа[англ.], слегка избыточные числа (их существование — открытая проблема).

Примечания

[править | править код]
  1. последовательность A005101 в OEIS
  2. последовательность A134716 в OEIS

Литература

[править | править код]