Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.
Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.
Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной.

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция , приращение которой при не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Определения

[править | править код]

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется возраста́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го возраста́ющей на , если
.
  • функция называется убыва́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го убыва́ющей на , если
.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

[править | править код]

Более естественно, когда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумеваются строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)[2]:

  • Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Функция называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Функция называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Данная терминология более лаконична.

Свойства монотонных функций

[править | править код]

Условия монотонности функции

[править | править код]
  • (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    не убывает на тогда и только тогда, когда
    не возрастает на тогда и только тогда, когда
  • (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    если то строго возрастает на
    если то строго убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

  • (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  • Функция строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка является стационарной, т.е. в этой точке .
  • Функция является строго возрастающей не только на открытом интервале , но и на замкнутом интервале .
  • Экспонента строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.
  3. Collins, P. J. (1971). Concordant mappings and the concordant-dissonant factorization of an arbitrary continuous function. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.