Поверхность Боя

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

Свойства

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом.

Для комплексного числа $w$, пусть

${\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}$

Поверхность $w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность $w\mapsto (x,\;y,\;z)$ задаваемая как

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.$

и есть поверхности Боя.

Замечания

• Поверхность остаётся неизменной при замене $w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}$, где ${\bar {w}}$ комплексно-сопряженное к $w$.

См. также

• поверхность Морина

Литература

• Kirby, Rob (November 2007), "What is Boy's surface?" (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1306—1307 Архивная копия от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
  • Casselman, Bill (November 2007), "Collapsing Boy's Umbrellas" (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1356 Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Kusner, Rob (1987), "Conformal geometry and complete minimal surfaces" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society (New series), 17 (2): 291—295, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 Архивная копия от 7 сентября 2008 на Wayback Machine.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach Архивная копия от 26 декабря 2019 на Wayback Machine.
• Morin, Bernard (1978), "Equations du retournement de la sphère", C. R. Acad. Sci. Paris, 287 (13): A879—A882
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's Архивная копия от 17 апреля 2007 на Wayback Machine.

Внешние ссылки

• Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки Архивная копия от 8 июля 2016 на Wayback Machine
• [1] Архивная копия от 19 октября 2008 на Wayback Machine - апплет плюс журнал.
• [2] Архивная копия от 12 июля 2016 на Wayback Machine, содержит в том числе оригинальные статьи Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine, и внедрение Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
• [3] Архивная копия от 16 сентября 2016 на Wayback Machine
• Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
• Модель на основе java, которая может быть свободно повернута Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
• Поверхность поля линии окраски Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
• поверхность Боя Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
• [4] Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.