Автоморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Автомо́рфная фу́нкция — функция , аналитическая в некоторой области и удовлетворяющая в этой области соотношению , где  — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

Класс автоморфных функций, обобщающий класс эллиптических функций, был введён и исследован французским математиком Анри Пуанкаре в работах 1880-х годов.

На протяжении XIX века практически все видные математики Европы участвовали в развитии теории эллиптических функций, оказавшихся чрезвычайно полезными при решении дифференциальных уравнений. Всё же эти функции не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, и многие математики стали задумываться над тем, нельзя ли расширить класс эллиптических функций так, чтобы новые функции были применимы и для тех уравнений, где эллиптические функции бесполезны.

Пуанкаре впервые нашёл эту мысль в статье Лазаря Фукса, виднейшего в те годы специалиста по линейным дифференциальным уравнениям (1880). В течение нескольких лет Пуанкаре далеко развил идею Фукса, создав теорию нового класса функций, который он, с обычным для Пуанкаре равнодушием к вопросам приоритета, предложил назвать фуксовы функции (фр. les fonctions fuchsiennes) — хотя имел все основания дать этому классу своё имя. Дело закончилось тем, что Феликс Клейн предложил название «автоморфные функции», которое и закрепилось в науке[1]. Пуанкаре вывел разложение этих функций в ряды, доказал теорему сложения. Эти открытия «можно по справедливости считать вершиной всего развития теории аналитических функций комплексного переменного в XIX веке»[2].

При разработке теории автоморфных функций Пуанкаре обнаружил их связь с геометрией Лобачевского, что позволило ему изложить многие вопросы теории этих функций на геометрическом языке. Он опубликовал наглядную модель геометрии Лобачевского, с помощью которой иллюстрировал материал по теории функций.

После работ Пуанкаре эллиптические функции из приоритетного направления науки превратились в ограниченный частный случай более мощной общей теории. В XX веке результаты Пуанкаре были распространены на случай функций многих переменных (см., например, модулярные функции). Предприняты попытки ещё более обобщить класс автоморфных функций (автоморфные формы).

Применение

[править | править код]

Автоморфные функции находят широкое применение во многих областях точных наук[3]. В частности:

Примечания

[править | править код]
  1. Пуанкаре А. Избранные труды в трёх томах, Указ. соч. — Т. 3. — С. 690—695.
  2. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Указ. соч. — Т. 2. — С. 247.
  3. Сильвестров, 2000.

Литература

[править | править код]