В математике для последовательности чисел
бесконечное произведение
[1]
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04396b023ddc46549be50c55ba333289adf14352)
определяется как предел частичных произведений
при
. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.
Если все числа
положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.
Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство
. Следовательно, логарифм
определён для всех
, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности
это конечное число членов, получим равенство:
![{\displaystyle \ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a30404f7a4e8defaab09c807f2730fe198c3152)
в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого
, обозначим
, тогда
и
, откуда следует неравенство:
![{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78f1d680b3c47c41e63ac1f847548eb7e71646f)
которое показывает, что бесконечное произведение
сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма
.
Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа
, открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:
;
.
Тождество Эйлера для дзета-функции
,
где произведение берётся по всем простым числам
. Это произведение сходится при
.
В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов
![{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8e63de716e48bd2748c75bcd2a9c6e0985bf3d)
![{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc4b3f43753eea2a2972b3a7fed22e21c099b70)
Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция
, имеющая не более чем счётное количество нулей
, где точка 0 — нуль порядка
, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида
,
где
— некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа
подобраны таким образом, чтобы ряд
сходился.
При
соответственная множителю номер
экспонента опускается (считается равной
).
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 350—364.