Бигармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бигармоническая функция — функция действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства , имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

где  — оператор набла,  — оператор Лапласа.

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

В полярных координатах:

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат xi.

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f1, f2 или g1, g2 в виде

или

где а  — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области , удовлетворяющую на границе C условиям

где  — производная по нормали до C, f1(s), f2(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

с помощью двух аналитических функций комплексной переменной . Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.

Литература

[править | править код]