Внешность (топология)

Вне́шность множества в общей топологии — это внутренность дополнения к нему.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{T}} — определённая на нём топология. Пусть дано подмножество $A\subset X.$ Точка $x_{0}\in X$ называется вне́шней то́чкой мно́жества $A,$ если существует её окрестность $U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}$ такая, что

$U\cap A=\emptyset .$

Совокупность всех внешних точек множества называется внешностью и обозначается $A^{\mathrm {e} }.$

Свойства

• Все основные свойства внешности следуют из свойств внутренности и тождества:

$A^{\mathrm {e} }=\left(A^{\complement }\right)^{0};$

• $X=A^{0}\cup \partial A\cup A^{\mathrm {e} }.$

Пример

Пусть дана вещественная прямая с определённой на ней стандартной топологией. Тогда

• $(a,b)^{\mathrm {e} }=(-\infty ,a)\cup (b,\infty ).$

См. также

• Внутренность
• Граница множества