Возвратное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Возвратное уравнениеалгебраическое уравнение от одной переменной вида

для нечётной степени и

для чётной степени , где . Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1].

Альтернативный способ определения

[править | править код]

Многочлен нечётной степени называется возвратным, если для некоторого равенство верно при любом .
Многочлен чётной степени называется возвратным, если для некоторого равенство верно при любом .

Частные случаи

[править | править код]

Понижение степени и нахождение корней

[править | править код]

Любой возвратный многочлен нечётной степени имеет корень и представляется в виде произведения линейного многочлена и многочлена , имеющего чётную степень и являющегося возвратным.

Рассмотрим теперь возвратный многочлен чётной степени . По определению возвратного многочлена , следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде , где сумму можно переписать в виде многочлена относительно степени .

Найдя все корни полученного уравнения и решив все уравнения вида относительно , получаем корни изначального возвратного уравнения .

Как было показано выше, возвратные уравнения степеней и сводятся к решению уравнений степени , которые разрешимы в радикалах вплоть до по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение , позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени относительно , является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно степени не более , разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает .

Примечания

[править | править код]