Вполне упорядоченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вполне упорядоченное множество (сокр. ВУМ) — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

  • Пустое множество является вполне упорядоченным.
  • Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
  • Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно»[1], которое обозначим и определим следующим образом:
если либо либо либо и
Тогда порядок целых чисел будет таким: В частности, будет наименьшим отрицательным числом.
  • Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением . В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.
  • Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
  • Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

Литература

[править | править код]
  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.

Примечания

[править | править код]
  1. Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 571 (15b). — 736 с.