Гипергеометрическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипергеометри́ческая фу́нкция (функция Гаусса) — одна из специальных функций. Определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда

а при  — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением. Гипергеометрический ряд может рассматриваться как обобщение геометрического ряда (отсюда название); частный случай гипергеометрической функции является суммой геометрического ряда.

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом[2]. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

[править | править код]

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и .

Когда параметр не равен нулю и отрицательным целым числам регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

где  — гамма-функция (при n = 0 по определению (p)n = 1). Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

Обозначение указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы , условно сходится при , и расходится, если . Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

Оно имеет особую точку при и справедливо при всех неположительных .[3]

Интегральное представление для гипергеометрической функции при (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

где  — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной -плоскости с разрезом вдоль действительной оси от до и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при .

Частные значения при z = 1 / 2

[править | править код]

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

Теорема Бейли выражается формулой:

Запись других функций через гипергеометрическую

[править | править код]

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что из неё могут быть получены многие специальные и элементарные функции при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

  • Полный эллиптический интеграл первого рода:
  • Полный эллиптический интеграл второго рода:
  • Полином Лежандра:
  • Присоединённая функция Лежандра:
  • Функции Бесселя:
  • Функция Куммера (Похгаммера), или вырожденная гипергеометрическая функция[англ.]
    является решением вырожденного гипергеометрического уравнения
  • Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:
  • И замечательный частный случай предыдущего выражения:

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Кузнецов Д. С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1962.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
  • Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
  • Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.