Гипотезы Тэйта

Гипотезы Тэйта — это три гипотезы, высказанные математиком XIX века Питером Гатри Тэйтом при изучении узлов. Гипотезы Тэйта вовлекают концепции из теории узлов, такие как альтернированные узлы, хиральность и число закрученности. Все гипотезы Тэйта доказаны, последней была гипотеза о переворачивании.

Предпосылки

Сокращённая диаграмма — это такая, в которой удалены все перешейки.

Тэйт пришёл к своим гипотезам в конце XIX века после попыток свести в таблицу все узлы. Как у основателя теории узлов, его работа не обладала строгим математическим обоснованием, и не совсем понятно, распространял ли он свои гипотезы на все узлы, или только на альтернированные. Оказалось, что большинство из них верны только для альтернированных узлов. В гипотезах Тэйта диаграмма узла называется «сокращённой», если все «перешейки» или «тривиальные перекрещивания» удалены.

Число пересечений альтернированных узлов

Тэйт предположил, что при некоторых обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла, в частности:

Любая сокращённая диаграмма альтернированного зацепления имеет наименьшее возможное число пересечений.

Другими словами, число пересечений сокращённого альтернированного зацепления является инвариантом узла. Эту гипотезу доказали Луис Кауффман, Кунио Мурасуги (村杉 邦男) и Морвен Б. Тистлетвэйт в 1987 году с помощью многочлена Джонса.

Геометрическое доказательство, не использующее многочлены узла, дал в 2017 году Джошуа Гриин.

Число закрученности и хиральность

Вторая гипотеза Тэйта:

Амфихаральное (или ахиральное) альтернированное зацепление имеет нулевое число закрученности.

Эту гипотезу также доказали Кауффман и Тистлетвэйт.

Перевёртывание

Перевёртывание

Гипотезу Тэйта о перевёртывании можно сформулировать так:

Если даны две сокращённые альтернированные диаграммы $D_{1}$ и $D_{2}$ ориентированного простого альтернированного зацепления, то диаграмма $D_{1}$ может быть преобразована в $D_{2}$ путём последовательности некоторого вида операций, называемых перевёртыванием

Гипотезу Тэйта о перевёртывании доказали Тистлетвэйт и Уильям Менаско в 1991 году. Из гипотезы Тэйта о перевёртывании вытекает несколько других гипотез Тэйта:

Любые две сокращённые диаграммы одного и того же альтернированного узла имеют одинаковое число закрученности.

Это следует из того, что перевёртывание сохраняет число закрученности. Этот факт доказали ранее Мурасуги и Тистлетвэйт. Это также следует из работы Гриина. Для неальтернированных узлов эта гипотеза не верна и пара Перко является контрпримером.

Из этого результата следует также следующая гипотеза:

Альтернированные амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений.

Это следует из того, что зеркальный узел имеет противоположное число закрученности. Эта гипотеза снова верна только для альтернированных узлов — существует неальтернированный амфихиральный узел с числом пересечений 15.

См. также

• Простой узел

Литература

• Raymond W. B. R. An introduction to knot theory. — Springer-Verlag, New York. — 1997. — Т. 175. — С. 47. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98254-0. — doi:10.1007/978-1-4612-0691-0.
• Louis Kauffman. State models and the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 2. — doi:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
• Morwen Thistlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
• Joshua Greene. Alternating links and definite surfaces // Duke Mathematical Journal. — 2017. — Т. 166, вып. 11. — doi:10.1215/00127094-2017-0004. — . — arXiv:1511.06329.
• William Menasco, Morwen Thistlethwaite. The Classification of Alternating Links // Annals of Mathematics. — 1993. — Т. 138, вып. 1. — doi:10.2307/2946636. — .
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1987. — Т. 102, вып. 2. — doi:10.1017/S0305004100067335. — .
• Morwen Thistlethwaite. Kauffman's polynomial and alternating links // Topology. — 1988. — Т. 27, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
• Alexander Stoimenow. Tait's conjectures and odd amphicheiral knots // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 2008. — Т. 45, № 2.