Изотомическое сопряжение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.

Определение

[править | править код]

Пусть дан треугольник , у которого — середина стороны , — середина и — середина стороны . Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка , не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые , и . Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках , и (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, . Если теперь точки , и симметрично отразить относительно , и соответственно, получатся точки , и (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку , и так же для остальных пар точек, получаем и, согласно той же теореме Чевы, прямые , и пересекаются в одной точке . Эта точка называется изотомически сопряжённой точке относительно треугольника .

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми , и . На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой соответствует вершина (и наоборот, вершине — всякая точка ) и так далее.

Координаты

[править | править код]

Если барицентрические координаты точки суть , то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .

Если трилинейные координаты точки суть , то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .

Другое определение

[править | править код]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

  • Изотомическое сопряжение является инволюцией, то есть его квадрат тривиален.
  • Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
  • Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
  • Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
  • Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.