Коллапс (геометрия)

Коллапс — тип последовательности пространств, обычно римановых многообразий, которая существенно меняет локальную структуру (в частности теряет размерность) при переходе к пределу.

Определение

Существует несколько неэквивалентных определений коллапса.

Через филинг-радиус

Последовательность замкнутых римановых многообразий колапсирует если их филинг-радиусы стремятся к нулю.

Через потерю размерности

Предположим последовательность $m$-мерных римановых многообразий $M_{n}$ имеет ограниченную снизу кривизну и сходится к Александровскому пространству $A$ в смысле Громова — Хаусдорфа. Если при этом рамерность $A$ строго меньше $m$, то говорят, что $M_{n}$ коллапсирует к $A$.

При этом разница $m-\dim A$ называется коразмерностью коллапса.

Примеры

• Последовательность плоских торов $T_{n}$ изометричных произведению окружности длины ${\tfrac {1}{n}}$ и единичной окружности коллапсирует к единичной окружности. В данном случае последовательность $T_{n}$ сходится к окружности в смысле Громова — Хаусдорфа.

Свойства

• Предположим последовательность односвязных $m$-мерных римановых многообразий $M_{n}$ с секционными кривизнами $|K(M_{n})|\leq 1$ коллапсирует с коразмерностью $k$. Тогда $M_{n}$ допускает эффективное действие $k$-мерного тора для всех больших $n$ с диаметром орбит стремящимся к нулю.

См. также

• Почти плоское многообразие — многообразие, допускающее последовательность римановых метрик ограниченной кривизны, коллапсирующих к точке.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.