Коммутативность конъюнкции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Коммутативность конъюнкции общезначимая логическая форма аргумента и истинностно-функциональная тавтология, в логике высказываний. Рассматривается как закон классической логики. Согласно данному принципу, конъюнкты логической связки могут меняться местами друг с другом, сохраняя при этом истинностное значение итогового высказывания[1].

Формальное обозначение

[править | править код]

Коммутативность конъюнкции может быть сформулирована, в исчисление секвенций, следующим образом:

и

где значение металогического символа, такое, что является синтаксическим следствием в одном случае, а является синтаксическим следствием в другом, в некоторой формальной системе.

или в форме правила вывода:

и

где действует правило, что везде, где есть экземпляр «» встречается в одной из строк доказательства, то его можно заменить на «», и где бы ни находился экземпляр «» появляется в строке доказательства, то может быть заменён на «»;

или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

и

где и пропозиции, выраженные в некоторой формальной системе.

Обобщённый принцип

[править | править код]

Для любых пропозиций H1, H2, ... Hn и перестановки σ(n) чисел от 1 до n, справедливо, когда:

Ч 1 Ч 2 ... Hn

эквивалентно

H σ(1) H σ(2) H σ(n).

Например, если H1 это:

Идёт дождь

H2 значит

Сократ смертен

и H3 равен

2+2=4

тогда

Идёт дождь, и Сократ смертен, и 2+2=4

эквивалентно

Сократ смертен, а 2+2=4, и идёт дождь

и другие варианты порядка следования предикатов.

Наглядный пример

[править | править код]

Предположим два высказывания:

  • A: читать книгу.
  • B: слушать музыку.

Теперь составим из них конъюнкцию, то есть высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба компонента:

  • A и B: читать книгу и слушать музыку.

Но также можно поменять местами A и B, получив другую конъюнкцию:

  • B и A: слушать музыку и читать книгу.

Заметим, что обе конъюнкции имеют одинаковое значение истинности, то есть они эквивалентны и конъюнкция коммутативна, то есть не зависит от порядка своих компонентов.

Формальная запись выглядит так:

  • A и B = B и A

или, используя символы логики:

  • A ⋀ B = B ⋀ A

Это утверждение является тавтологией, то есть всегда истинным независимо от значений A и B.

Примечания

[править | править код]
  1. Elliott Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. — CRC Press, 1997. — ISBN 0-412-80830-7.