Коника девяти точек

Коника девяти точек

Коника девяти точек полного четырёхугольника — это коническое сечение, проходящее через три диагональные точки и шесть середин сторон полного четырёхугольника.

Коническое сечение девяти точек описал Максим Бохер в 1892 году. Более известная окружность девяти точек является частным случаем коники Бохера. Другой частный случай — гипербола девяти точек.

Определение

Бохер использовал четыре точки полного четырёхугольника как три вершины треугольника и одну независимую точку:

Пусть задан треугольник ABC и точка P на плоскости. Коническое сечение можно провести через следующие девять точек:

середины сторон треугольника ABC,

середины отрезков, соединяющих P с вершинами треугольника,

точки, где эти прямые, проходящие через P и вершины треугольника, пересекают стороны треугольника.

Свойства

Коническое сечение будет эллипсом, если P лежит внутри треугольника ABC или в одной из областей плоскости, отделённых от внутренности треугольника двумя сторонами. В противном случае коника будет гиперболой. Бохер заметил, что в случае, когда P является ортоцентром, получим окружность девяти точек, а когда P лежит на описанной окружности треугольника ABC, коника будет равнобокой гиперболой.

В 1912 году Мод Минторн показала, что коника девяти точек является геометрическим местом центров конических сечений, проходящих через четыре заданные точки.

См. также

• Теорема о девяти точках на кубической кривой

Литература

• Maxime Bôcher. Nine-point Conic // Annals of Mathematics. — 1892. — Т. 6, вып. 5. — С. 132.
• Fanny Gates. Some Considerations on the Nine-point Conic and its Reciprocal // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 8, вып. 6. — С. 185–8.
• Maud A. Minthorn. The Nine Point Conic. — Master's dissertation at University of California, Berkeley, 1912.
• Eric W. Weisstein. Nine-point conic  (неопр.). MathWorld.
• Michael DeVilliers. The nine-point conic: a rediscovery and proof by computer // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — Taylor & Francis, 2006. — Т. 37, вып. 1.
• Christopher Bradley. The Nine-point Conic and a Pair of Parallel Lines. — University of Bath.

Литература для дальнейшего чтения

• W. G. Fraser. On relations of certain conics to a triangle // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1906. — Т. 25. — С. 38–41.
• Thomas F. Hogate. On the Cone of Second Order which is Analogous to the Nine-point Conic // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 7. — С. 73–6.
• P. Pinkerton. On a nine-point conic, etc. // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1905. — Т. 24. — С. 31–3.

Ссылки

• Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches