Конус (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства стягиванием подпространства его цилиндра () в одну точку, то есть, факторпространство . Конус над пространством обозначается .

Если компактное подмножество евклидова пространства, то конус над гомеоморфен объединению отрезков из в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Конус над точкой вещественной прямой — это интервал , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником  — это пирамида с основанием . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому -мерному шару. Конус над -симплексом — -симплекс.

Конус может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения [1].

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой .

Если является компактным и хаусдорфовым, то конус можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку с единственной точкой; если не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

[править | править код]

Отображение порождает конический функторэндофунктор над категорией топологических пространств .

Приведённый конус

[править | править код]

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством[англ.][2] :

.

Естественное вложение позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса[3].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
  • Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
  • Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971.