Лемма Соллертинского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.

Пусть  — произвольная точка и  — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения и , где  — прямая, проходящая через , есть коника, проходящая через точки и

Доказательство

[править | править код]

Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году.[1] На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.

Частные случаи, обобщения и следствия

[править | править код]
  • Если  — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
  • Если  — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
  • Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так:

Пусть  — произвольная прямая и  — проективное преобразование. Тогда все прямые , где  — точка, лежащая на , касаются коники, касающейся прямых и

  • Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника , касающаяся обеих прямых , в точке проводится касательная к , отличная от , и берется точка ее пересечения с .
  • Если — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а и будут относиться к другому семейству.
Гипербола Киперта
  • Пусть на сторонах произвольного треугольника построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники , , . Тогда прямые , , пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
  • Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
    • Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
    • Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.

Примечания

[править | править код]
  1. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.