Метод энтропического моделирования

С развитием компьютерных технологий моделирование методом Монте-Карло становится всё более популярным в изучении различных статистических систем, включая: нейронные сети, проблемы биологии и химии, задачи оптимизации в различных областях, а также в статистической физике при изучении фазовых переходов и критических явлений.

Почти все вариации метода Монте-Карло основаны на идее метода существенной выборки, автором которого является Н. Метрополис и др.

Одним из примеров реализации метода энтропического моделирования является Алгоритм Ванга-Ландау

Метод Монте-Карло в классической статистической механике

Задачи равновесной статистической термодинамики классических систем можно свести к вычислению статистического интеграла. Например, в каноническом ансамбле:

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!(2\pi \hbar )^{3N}}}\int \exp\{-\beta E(p,q)\}dpdq,\qquad {\mbox{где }}\beta ={\frac {1}{kT}},$

$N$ - число частиц, находящихся в объёме $V$ при температуре $T$, $\beta =1/kT$; $E(p,q)$ - полная механическая энергия частиц; $p,q$ - набор их импульсов и координат, причём $dp=d^{3}p_{1}\ldots d^{3}p_{N}\,dq=d^{3}q_{1}\ldots d^{3}q_{N}$. Классическая энергия $E(p,q)$ всегда может быть представлена в виде суммы кинетической $K(p)$ и потенциальной $U(q)$ энергий. Кинетическая энергия есть квадратичная функция от импульсов, и интегрирование по ним может быть произведено в общем виде. В результате получаем:

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!\Lambda ^{3N}}}\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

где $\Lambda ={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mkT}}}$ - тепловая длина волны де Бройля частиц массы $m$ при температуре $T$. Таким образом, задача сводится к вычислению конфигурационного интеграла

$Q(N,V,T)=\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

От интегрирования по координатам можно перейти к интегрированию по энергии:

$Q(\beta )=\int \Omega (E)\exp(-\beta E)dE$

$\Omega (E)=\int \delta (U(q)-E)dq$

где $\Omega (E)$ - объём части конфигурационного пространства, в которой энергия системы лежит в пределах от $E$ до $E+dE$, $\delta$ - дельта функция.

Вычисления по приведённым формулам мы будем выполнять численными методами. Поэтому от интегралов перейдём к интегральным суммам. Диапазон изменения энергии системы $E_{min}\leq E\leq E_{max}$ разбивается на конечное число $(N_{b})$ равных отрезков. Определяются значения $\Omega (E_{i}),i=1,2,...,N_{b}$. В итоге, для любой величины $f$ её средние канонические могут быть вычислены по формуле:

$<f>(\beta )={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N_{b}}f_{i}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{i})}{\sum \limits _{i=1}^{N_{b}}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{i})}}$,

где $f_{i}$ — значение величины $f$ для $i$-го отрезка энергии. Поскольку $\Omega (E)$ входит линейно и в числитель, и в знаменатель формулы для $<f>$, то $\Omega (E)$ можно понимать не только как объём, но и как долю конфигурационного пространства, соответствующую энергии $E$. В каждом состоянии (конфигурации) система обладает определённой энергией. Т.е. каждому состоянию (конфигурации) системы можно сопоставить точку на энергетической шкале (оси) в пространстве энергий (это пространство одномерно). Последовательности случайных изменений конфигурации системы соответствует случайное блуждание точки в пространстве энергий. Моделируя процесс случайных блужданий с помощью метода Монте-Карло и зная или вычисляя значения $\Omega _{i}$ , мы можем находить средние значения физических величин.

Алгоритм энтропического моделирования

Алгоритм энтропического моделирования основан на следующем обстоятельстве. Совершая случайное блуждание в пространстве энергий с вероятностями перехода, пропорциональными обратной плотности состояний $1/\Omega (E)$, мы получаем равномерное распределение по энергиям. Иными словами, подобрав вероятности перехода такими, что посещение всех энергетических состояний стало бы равномерным, можно получить изначально неизвестную плотность состояний $\Omega (E)$.

Напишем конфигурационный интеграл в каноническом ансамбле в виде:

$Q(\beta )=\int e^{-\beta E(q)}dq=\int \Omega (E)e^{-\beta E}dE=\int e^{S(E)-\beta E}dE$

где $S(E)=k\ln \Omega (E)$ - энтропия при заданном значении $E$ (иногда $k$ будет опускаться, т.к. в моделировании не обязательно учитывать эту константу).

Осуществляя блуждание в конфигурационном пространстве с вероятностями перехода, удовлетворяющими соотношению детального баланса

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (E(q_{2})-E(q_{1}))}$,

получают каноническую выборку состояний $P(q)\sim e^{-\beta E(q)}$ (или $P(E)\sim e^{S(E)-\beta E}$). Произвольной выборке энергетических состояний $P(E)\sim e^{A(E)}=e^{S(E)-J(E)}$, где $A(E)$ — произвольная функция, $J(E)=S(E)-A(E)$, соответствует условие

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (J(E(q_{2}))-J(E(q_{1})))}$.

При $J(E)=S(E)$, в процессе блуждания должна получиться равномерная, в пределах статистического разброса, выборка энергетических состояний, $P(E)\sim const$. В этом случае из определения энтропии следует

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}={\frac {\Omega (E(q_{1}))}{\Omega (E(q_{2}))}}$

Таким образом, если при некотором выборе вероятностей перехода получить равномерное посещение энергетических состояний, то можно вычислить плотность состояний $\Omega (E)$, а следовательно, и конфигурационный интеграл $Q(\beta )$.