Многочлены Шапиро

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многочлены Шапиро — последовательность многочленов, впервые изученная Гарольдом Шапиро в 1951 году при рассмотрении величин некоторых специальных тригонометрических сумм[1]. С точки зрения обработки сигналов, полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами[2], и их значения в единичном круге малы. Первые члены последовательности:

,

где вторая последовательность, Q, называется дополнительной к первой последовательности, P.

Построение

[править | править код]

Полиномы Шапиро могут быть получены из последовательности Рудина-Шапиро (, если число подстрок 11 в двоичной записи числа n четно, и иначе (OEIS A020985)). Так, и т. д.

есть частичная сумма порядка степенного ряда

Последовательность Рудина-Шапиро имеет структуру, схожую с фрактальной — например, , то есть подпоследовательность совпадает с исходной . Это свойство приводит к примечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет .

Дополнительные полиномы Шапиро, , могут быть определены через эту же последовательность, через отношение , или же через рекуррентные формулы:

Дополнительная последовательность, , соответствующая , однозначно определяется следующими свойствами:

  1. Степень равна .
  2. Коэффициенты равны , коэффициент при нулевой степени равен 1.
  3. Равенство выполнено на всей единичной окружности .

Наиболее интересным свойством последовательности является то, что модуль значения на единичной окружности ограничен , что по порядку равно -норме . Многочлены с коэффициентами , максимум модуля которых на единичной окружности близок к среднему значению модуля, полезны в различных приложениях теории коммуникаций (например, форма антенны и сжатие данных). Свойство (3) показывает, что (P, Q) образуют пару Голея.

Другие свойства этих многочленов[3]:

Примечания

[править | править код]
  1. John Brillhart and L. Carlitz. Note on the Shapiro polynomials (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society : journal. — Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 1, 1970. — May (vol. 25, no. 1). — P. 114—118. — doi:10.2307/2036537.
  2. Somaini, U. Binary sequences with good correlation properties (англ.) // Electronics Letters[англ.] : journal. — 1975. — 26 June (vol. 11, no. 13). — P. 278—279. — doi:10.1049/el:19750211.
  3. J. Brillhart; J.S. Lomont, P. Morton. Cyclotomic properties of the Rudin–Shapiro polynomials (англ.) // J. Reine Angew. Math. : journal. — 1976. — Vol. 288. — P. 37—65.

Список литературы

[править | править код]
  • Borwein, Peter B[англ.]. Computational Excursions in Analysis and Number Theory (англ.). — Springer, 2002. — ISBN 0387954449. Chapter 4.