Нормальный оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: и унитарные операторы: . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

[править | править код]

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа через его действительную и мнимую части: , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: [1]

  • Если оператор нормален, то операторы , , а также обратный оператор (если он существует), тоже нормальны.[2]
  • Линейный непрерывный оператор в гильбертовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда для каждого .
  • . Здесь  — ядро,  — образ оператора .
  • Если при некотором и , то .
  • Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны[3].
  • Теорема о перестановочности. Пусть  — линейные непрерывные операторы, причем операторы и нормальны. Если , то . В частности, если оператор перестановочен с нормальным оператором , то он перестановочен и с сопряжённым .[4]
  • [5]
  • Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.[6]
  • Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если , где  — нормальные операторы, а оператор обратим, то , где  — унитарный оператор.[7]
  • , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.[2]

Спектральная теорема

[править | править код]

Любому нормальному оператору соответствует семейство проекционных операторов , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

и вообще

где  — произвольный многочлен от и ; при любом фиксированном прямоугольнике оператор является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов и [8].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

[9]

Случай конечномерного пространства

[править | править код]

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

Неограниченные операторы

[править | править код]

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве называется нормальным, если его область определения плотна в , он замкнут и удовлетворяет условию . Для нормального оператора , для любого . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.[11]

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
  • Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
  • Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.