Обсуждение:Мнимая единица

Untitled

Тогда дайте ссылку на форум, где обсуждается мнимая единица. Да, и прикрепите эту ссылку к самой статье: имеет отношение, знаете ли. И ещё немного было бы скинуть туда, на форум, все продукты местного обсуждения — оно ведь гремело здесь когда-то, я угадал? — но об этом, я полагаю, уже поздно уповать. Блейзар -- 22:18, 27 марта 2010‎

Физический смысл

Хорошо бы добавить физический смысл мнимой единицы и почему её было решено применять для описания физических процессов. — Эта реплика добавлена участником BPK (о • в)

• На мой взгляд, уместнее добавить эту информацию в статью Комплексные числа. В преамбуле про это уже чуть-чуть написано. --Cvz1 06:59, 4 июня 2010 (UTC)

i в степени i

Наверно, необходимо написать откуда взяли равенство $i=e^{i\pi /2}$ при доказательстве того, что $i^{i}$ - действительное число. В английской версии статья построена немного иначе, поэтому там это вытекает из материала, изложенного выше, а здесь это равенство сваливается на голову читающему из неоткуда --bms 18:54, 15 сентября 2010 (UTC).

Да, согласен, про это не подумал. Как-то просто добавил, в раздел, особо не вчитывался. Как видно зря.

Ссылки на показательную форму хватит, или лучше переписать все доказательство более подробно ? --DziedMaroz^talk 19:13, 15 сентября 2010 (UTC)

Думаю, пока можно добавить ссылку на показательную форму комплексного числа. Если окажется, что этого будет недостаточно, то потомки добавят :) --bms 12:15, 16 сентября 2010 (UTC).

Утверждение выглядит неверным. Дело в том, что показательная форма $i=e^{i\pi /2}$ не совсем корректна, а корректна запись $i=e^{i\left(\pi /2+2\pi n\right)}$, дающая многозначное возведение в степень для i в степени i (хотя все результаты вещественны)46.0.65.213 18:24, 14 августа 2011 (UTC)

Корни мнимой единицы

Что это такое описано? Корни - у уравнения с неизвестной бывают. Там о каком уравнении и какой неизвестной речь? --Nashev 15:50, 31 марта 2011 (UTC)

Очевидно, что речь идёт об арифметическом корне, который является результатом операции извлечения корня. --bms 19:47, 31 марта 2011 (UTC)

Связь экспоненты с косинусом

Почему была откачена правка про связь экспоненты с косинусом в комплексной плоскости? --Nashev 07:28, 24 апреля 2012 (UTC)

А что, чередование степеней действительно позволяет "обнаружить" такую связь? Не проще для этого воспользоваться формулой Эйлера? Кроме того, зачем вообще в разделе про степени упоминать про другие объекты? --bms 09:53, 25 апреля 2012 (UTC).

Формула Эйлера не объясняет, откуда она берётся. Её истоки видны именно здесь. В довольно неожиданном первичном проявлении периодичности степеней мнимй единицы. А что до упоминаний - где связь, там и упоминание. Что не так?--Nashev 00:21, 26 апреля 2012 (UTC)

Что в вашем понимании «связь экспоненты с косинусом в комплексной плоскости»? --bms 05:15, 26 апреля 2012 (UTC)

Не проще ли просто воспользоваться определением?

Произведением $z_{1}z_{2}$ комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ называется комплексное число:

$z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$

Тогда непосредственной подстановкой и с помощью щепотки мат. индукции докажется,что функция $f(n)=i^{n},\forall n\in \mathbb {N}$ вообще говоря периодична. Все остальные формулы в том числе формула Эйлера будут доказываться на основе аксиоматических операций введенных на поле комплексных чисел. Или я не прав? --DziedMaroz^talk 18:44, 26 апреля 2012 (UTC)

Здесь видно, как безо всякой высшей математики, просто умножая очередной раз i на саму себя, получаем движение по кругу на комплексной плоскости! Да, лишь на пересечениях с осями, но движение про кругу уже видно! Доказать, что и при дробных степенях движение сохраняется по кругу, а не гуляет по комплексной плоскости, наверное сложнее, и не выйдет без более высоких математических закономерностей, но то, что видно и так - достаточно полезно. --Nashev 19:46, 26 апреля 2012 (UTC)

Кстати, для перемножения i достаточно её собственного определения — что она в квадрате даёт −1, и перемножение комплексных чисел оказывается в данном вопросе ни при чём. --Nashev 21:45, 26 апреля 2012 (UTC)

Вопрос не в доказательстве периодичности, а о соотношении двух фактов: а) периодичность степеней и б) связь экспоненты с косинусом. По моему мнению, в статье актуальным является лишь факт а), ремарка же про б) совершенно излишняя. --bms 09:44, 27 апреля 2012 (UTC)

Мне очень не хватало подобного наблюдения, когда я с формулой Эйлера разбирался. И вот ровно в этом месте нашёл связь, и решил её сделать заметнее. Возможно, я неуклюже выразился. Очень прошу, сделайте заметнее эту связь. Может, стоит в разделе про степени i саму формулу Эйлера привести стоит, как генерализацию ряда целых степеней на рациональные степени? Со ссылкой на основную статью, конечно, и вкратце описать, как она тут получается? Правда, и в самой статье про неё с докозательством туговато... В дебри рядов его занесло... --Nashev 16:53, 27 апреля 2012 (UTC)

• • • Коллега, на самом деле формула Эйлера, наоборот, полноценно раскрывает косинус. И, чтобы это было проще заметить, для начала предположим, что аргумент косинуса и синуса в формуле Эйлера вещественен. Тогда, чтобы через натуральную экспоненту выразить косинус и синус, нужно найти число cos x − i sin x, сопряжённое cos x + i sin x, а оно равно e^i(-x), то есть это число не только сопряжено (для вещественного числа x), но и обратно! Следовательно,

$\cos x={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}}={\frac {e^{-xi}-e^{xi}}{2}}i.$

А затем для того, чтобы косинус и синус были обобщены на множество комплексных невещественных чисел и при этом остались моногенными, это определение косинуса и синуса обобщается на любые комплексные числа.

Милания⁽^-^⁾ (О, В) 11:45, 9 июня 2021 (UTC)

К вопросу выражения

Вопрос: почему нельзя мнимую единицу выразить как $-1$ ? Ведь радикалом в данном случае обозначается лишь положительный корень (то бишь арифметический). --Дзюба Ростислав Олегович 09:45, 9 ноября 2013 (UTC)

В современной математике мнимая единица определяется не через корень, как в старину, а просто как число нового (не вещественного) типа, квадрат которого равен -1. Предложенная вами -1 не заслуживает названия мнимой, поскольку её квадрат равен 1. Арифметический корень для отрицательного числа не определён, см. Корень (математика). LGB 11:33, 9 ноября 2013 (UTC)

Степени мнимой единицы

Господа, а не стоит ли добавить пояснение, почему 1/i = -i? А то как-то не очевидно сходу, почему решение должно быть именно таким. 62.140.252.88 07:49, 16 ноября 2013 (UTC)maxxie

• Боюсь, на все примеры не хватит размера статьи. Для этого есть учебники и задачники. --Mike Somerset (обс.) 06:17, 30 октября 2018 (UTC)

• Всё, я несколько часов назад это сделала: [1]. И ещё привела ссылку на деление комплексного числа на невещественное число (в общем случае).

Милания⁽^-^⁾ (О, В) 06:26, 9 июня 2021 (UTC)

• Замечательно, но почему в разделе про степени? Удалил оттуда. При необходимости можно восстановить в другой части статьи. Я только не понимаю, почему этот пример так всех заинтересовал. — Mike Somerset (обс.) 07:04, 9 июня 2021 (UTC)

• «почему этот пример так всех заинтересовал», — а что такого? Проблема-то в том, что деление на невещественное число — это действительно не совсем очевидно, если не знать о комплексно сопряжённых числах, и кому-то захотелось взять и осознать естественным способом, почему же i⁻¹ = −i, и, может быть, этот человек простую закономерность степеней мнимой единицы воспринимает как какой-то слишком искусственный подход доказать, что число −i обратно i.

Милания⁽^-^⁾ (О, В) 07:56, 9 июня 2021 (UTC)

• См. преамбулу (где я отступила красную строку, так как мне показалось это нужным, а также добавила маркированный список): [2]

Я отслеживаю изменения по статье, поэтому можно не дублировать на странице обсуждения. Не забывайте подписывать сообщения. — Mike Somerset (обс.) 14:46, 9 июня 2021 (UTC)

• Спасибо, но на самом деле я ничего не забыла. Просто я отправила слишком короткое сообщение, и притом очередное подряд, — и мне стало неловко подписываться очередной раз ^-^" — в итоге я обошлась ссылочкой на себя, которая кагбэ намекала.

Mylania⁽^-^⁾ (О, В) 15:26, 9 июня 2021 (UTC)

Квадрат мнимой единицы

Сейчас в статье говорится, что квадрат мнимой единицы в алгебрах Клиффорда может быть ="+1" или даже ="0". Я никогда не видел, чтобы в алгебрах (Клиффорда или в дуальных числах) элементы, квадраты которых не равны -1, называли бы мнимыми единицами. Есть ли источники, в которых бы это было так? — Эта реплика добавлена участником Alexei Kopylov (о • в) 17:52, 19 сентября 2015 (UTC)

• Как я понял из статьи Процедура Кэли — Диксона данное утверждение взято из этого источника (требуется бесплатная регистрация для ознакомления). --Mike Somerset (обс.) 09:00, 30 октября 2018 (UTC)
• Я думаю, что отсылки к таким «высоким» материям как Алгебра Клиффорда не нужны в этой статье. Оценить тот факт, что в этой теории есть какая-то своя мнимая единица можно лишь имея представление об этой теории, а это далеко не тривиальный опыт. Предлагаю убрать из статьи упоминания об Алгебре Клиффорда и про «конструкции удвоения по Кэли — Диксону». Как минимум из преамбулы. --Mike Somerset (обс.) 09:00, 30 октября 2018 (UTC)
  • В этом источнике я не увидел слов «imaginary unit», или чего-то подобного. Правда там не работает поиск, а у нас не указан номер страницы, поэтому я мог проглядеть, но вряд ли. В статье Процедура Кэли — Диксона слова «мнимая единица» взяты в кавычки, что говорит о том, что это всё-таки не совсем законное использование этого термина. Поэтому я убрал про +1 и 0. Также заменил упоминания про Клиффорда и Кэли — Диксона из преамбулы на ссылку на соответсвующий раздел. — Алексей Копылов 00:05, 31 октября 2018 (UTC)

Имеет два квадратных корня

Цитирую преамбулу:

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i»... Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для $i$ через радикал...

Эта фраза существует с момента создания статьи в 2009 году, но с тех пор несколько раз редактировалась (и всё без ссылок на источники). Вот ее исходная редакция:

Часто считается, что мнимая единица - это "квадратный корень -1", однако -1 имеет два квадратных корня ($i$ и $-i$).

Мне фраза про "имеет два квадратных корня" кажется некорректной: это не два квадратных корня, а два числа, дающих -1 в квадрате. У числа 1 их тоже два, а именно 1 и -1, но в этом случае не говорят про "два квадратных корня", а говорят про квадратный корень и минус квадратный корень. Вот и с корнем из -1 надо так же: есть два числа, которые дают -1 в квадрате, но приняты обозначения, согласно которым i является квадратным корнем, а -i минус квадратным корнем. Что интересно, далее в статье используется утверждение, что i - это корень из -1. Vcohen (обс.) 08:50, 17 февраля 2021 (UTC)

• То, что $i={\sqrt {-1}}$ — это следствие определения, никаких противоречий здесь нет. Такая формула встречается даже в математическом словаре, в статье про Мнимую единицу.
  А упомянутую фразу, думаю, можно спокойно удалить — мало ли как ещё можно «не совсем точно» определить предмет статьи. Звучит немного как «всезнайство». — Mike Somerset (обс.) 13:12, 17 февраля 2021 (UTC)
  • Спасибо. Сейчас уберу эту фразу, напишу что-нибудь более корректное. Vcohen (обс.) 14:30, 17 февраля 2021 (UTC)

@Vcohen:, ваша фраза «Мни́мая едини́ца' — комплексное число, равное корню из −1» неудачна. Во-первых, не «корню», а «квадратному корню». Во-вторых, квадратный корень всегда имеет два значения, и ваща фраза может быть понята читателем в том смысле, что оба они одновременно являются мнимыми единицами. В третьих, предыдущий вариант фразы был гораздо лучше во всех отношениях, он точно соответствовал Мат. энциклопедии и БРЭ.

Кроме того, я бы добавил предостережение, как в статье Комплексное число#Замечание, о том, что выражение $i={\sqrt {-1}}$ сейчас считается устаревшим (что бы там ни говорил упомянутый выше словарь),. Сейчас под знаком радикала допускаются только неотрицательные значения см. ссылки в статье Корень (математика). Leonid G. Bunich / обс. 15:42, 17 февраля 2021 (UTC)

• Насчет квадратного - согласен, упустил. А насчет двух значений - убейте меня, не понимаю. Старая версия определения, через квадрат, как раз и допускала два разных значения. Версия через корень, как я полагал, более однозначна, потому что есть плюс корень и минус корень. Вы же не будете утверждать, что корень из 4 - это и 2, и -2? Vcohen (обс.) 15:50, 17 февраля 2021 (UTC)
  • Старая версия как раз вполне определённо говорила об одном комплексном числе: Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1, она никак не подразумевала, что мнимая единица — это все числа, квадрат которых равен -1. Поэтому лучше вернуться к старой версии, сноски на Мат.энциклопедию и БРЭ я добавлю. А насчёт предостережения о недопустимости выражений вида $i={\sqrt {-1}}$ возражений нет? Leonid G. Bunich / обс. 16:01, 17 февраля 2021 (UTC)
    • То есть мы знаем, что этих чисел два, но в определении имеем в виду, что годится любое из них? Насчет недопустимости выражений я ничего не могу сказать, но это не так важно, пока этот тезис не попадает в статью. Vcohen (обс.) 16:42, 17 февраля 2021 (UTC)
      • Тут некоторая логическая трудность: мы не можем сказать, сколько существует чисел, квадрат которых равен -1, пока не построим всё поле комплексных чисел, а построение начинается с предположения, что одно такое число существует, и этого достаточно. Обычно в АИ не вдаются в такие тонкости, так что неприятности могут быть только когда дело доходит до корней — см. пример ошибки в Комплексное число#Замечание. Leonid G. Bunich / обс. 17:40, 17 февраля 2021 (UTC)
        • Что будет, если мы напишем так: "одно из комплексных чисел, квадрат которых равен -1"? Имеется в виду, что второе такое число после введения обозначения i будет обозначаться как -i. Vcohen (обс.) 17:45, 17 февраля 2021 (UTC)
          • По-моему, это излишний педантизм. Да и ссылки на АИ тогда под вопросом, поскольку там формулировка иная. Фраза «комплексное число квадрат которого...» ясно говорит, что речь идёт об одном числе. А далее можно указать, что $-i$ также удовлетворяет определению, однако термин «мнимая единица» к нему не относится. Leonid G. Bunich / обс. 17:56, 17 февраля 2021 (UTC)
            • Не возражаю. Предлагаю внести правку Вам. Vcohen (обс.) 19:08, 17 февраля 2021 (UTC)

Сделано. Подчистил заодно стиль и оформление. Фразу о парности $\pm i$ пока убрал в силу неясности практической пользы от неё. Добавил пояснение о нежелательности выражений типа ${\sqrt {-1}}$ с двумя ссылками. Leonid G. Bunich / обс. 11:01, 18 февраля 2021 (UTC)

• Согласен, с коллегой @LGB. Лучше оставить классическое определение. — Mike Somerset (обс.) 19:57, 17 февраля 2021 (UTC)
  • Тогда становится непонятной фраза "Выбор одного из них в качестве корня условен". Слово корень здесь как бы отсылает к определению, данному выше, но в определении этого слова нет. Его вообще до этой фразы нигде нет, если не считать употребленного несколько раз термина "корень уравнения". Vcohen (обс.) 21:13, 17 февраля 2021 (UTC)
    • 1. Как написал вам коллега выше, для построения теории комплексных чисел достаточно одного числа, квадрат которого равен −1 и это число решили назвать $i$ — мнимой единицей.
      Такое определение однозначно и не требует дополнительных оговорок (в отличие от определения через операцию извлечения корня, которая является многозначной).
      2. Фраза «Выбор одного из них в качестве корня условен», действительно, противоречива, поскольку не понятно о каких условиях идёт речь. Оба числа являются корнями (и операции извлечения квадратного корня, и упомянутого квадратного уравнения); куда, кому и зачем нужно выбрать одно из них, не совсем понятно.
      Наверное, можно просто отметить факт, что определению мнимой единицы помимо числа $i$ также удовлетворяет число $-i$ и, как следствие, в выражениях с комплексными числами можно одно заменить другим. Боюсь соврать, поскольку проходил ТФКП давно, но такой приём (замена $i$ на $-i$ и наоборот), вроде, применяется при преобразованиях выражений. Но это просто технический приём, а не повод построить на его основе заново всю теорию.
      3. Насчёт предостережения о недопустимости выражений вида $i={\sqrt {-1}}$, мне кажется, слишком навязчиво получится. В комплексном анализе оно и так не используется (собственно, для этого и ввели обозначение $i$). Проблемы извлечения корней из отрицательных чисел — это тема, скорее для статьи про корень и арифметический корень. Но если есть железобетонные АИ на эту тему, где-то авторы прямо об этом пишут «Ни в коем разе, никогда и нигде так не пишите», то, наверное, можно привести и в обсуждаемой статье. — Mike Somerset (обс.) 06:21, 18 февраля 2021 (UTC)
      • Простите, но я писал про слово "корень" (см. мою реплику). Какой из пунктов 1-3 должен быть ответом на это? Vcohen (обс.) 08:18, 18 февраля 2021 (UTC)
        • Не очень понимаю, что вы хотите услышать? Вы хотите подогнать определение под какую-то, непонятно откуда взявшуюся фразу?
          Якобы она вас отсылает к определению, в котором чего-то нет. Ну так удалите эту фразу и ваша проблема будет решена )) — Mike Somerset (обс.) 08:24, 18 февраля 2021 (UTC)
          • Нет, задача была просто согласовать фразы между собой и избавиться от эффекта Дяди Фёдора. В нынешней версии статьи эта проблема решена. Vcohen (обс.) 13:58, 18 февраля 2021 (UTC)
      • (начало реплики)

      2. <...> Наверное, можно просто отметить факт, что определению мнимой единицы помимо числа $i$ также удовлетворяет число $-i$ и, как следствие, в выражениях с комплексными числами можно одно заменить другим.

      Вы совершенно правы. Дело в том, что, если в каком-либо выражении, которое образовано: сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в степень (вне зависимости от того, брать ли главное значение или все возможные), извлечением корня, логарифмированием, — все числа заменить на сопряжённые, сам результат заменится на сопряжённый. Заметив это замечательное свойство, Огюстен неслучайно сопряжённые числа назвал именно сопряжёнными (конъюгированными): возможно, он вкладывал в этот термин совершенно «житейский» смысл, а не какой-то сухой, абстрактный (но это лишь моя догадка).

      Но, что самое интересное, в поле комплексных чисел эта взаимозаменяемость является уникальной и специфичной исключительно для пары i и −i, то есть только для чисел, плюс-минус вторая степень которых равна −1. Они не просто сопряжены — они, по сути, друг другу двойственны.

      Во-первых, благодаря этому факту любому новичку в комплексных числах становится легко осознать, прочувствовать, почему же в определении мнимой единицы математики так «зациклены» именно на показателе ±2.

      А во-вторых (и это по теме вашего обсуждения), из этого становится понятно, почему же мнимую единицу нельзя определять как квадратный корень из −1:

      • во-первых, это повлечёт за собой логические проблемы;
      • а во-вторых, довольно «жестоко» «разлучать» числа i и −i. ^^"

      Да, я с числами обращаюсь чувствительно, как с людьми. =^=

      Милания⁽^-^⁾ (О, В) 06:10, 9 июня 2021 (UTC)