Порядок элемента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое , такое что -кратное групповое умножение данного элемента на себя даёт нейтральный элемент:

.

Иными словами,  — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что имеет бесконечный порядок. Обозначается как или .

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Основные свойства

[править | править код]

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в совпадает со своим обратным (то есть ), то и является абелевой, поскольку . Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

.

Для любого целого тождество выполнено тогда и только тогда, когда делит .

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если имеет конечный порядок, то порядок равен порядку , делённому на наибольший общий делитель чисел и . Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента ().

Связь с порядком группы

[править | править код]

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе , состоящей из шести элементов, нейтральный элемент имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из  — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число делит порядок группы , то существует элемент , для которого . Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

Порядок произведения

[править | править код]

В любой группе .

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения с порядками сомножителей и . Возможен случай, когда и , и имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения бесконечен, также возможно, что и , и имеют бесконечный порядок, в то время как конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами , тогда . Пример второго случая — перестановки в той же группе , произведение которых является нейтральным элементом (перестановка , оставляющая элементы на своих местах). Если то можно утверждать, что делит наименьшее общее кратное чисел и . Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Подсчёт по порядку элементов

[править | править код]

Для данной конечной группы порядка , число элементов с порядком ( — делитель ) кратно , где  — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих и взаимно простых с ним. Например, в случае , и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку , и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как , поскольку , и в группе имеется нуль элементов порядка 6.

Связь с гомоморфизмами

[править | править код]

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если является гомоморфизмом, и  — элемент конечного порядка, то делит . Если инъективно, то . Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма , поскольку любое число, за исключением нуля, в имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов .) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.

Литература

[править | править код]
  • Курош А.Г. Теория групп. — Москва: Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.