Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.
Пусть дано множество
Непустая система
подмножеств множества
называется базисом фильтра (базой) множества
, если
- для любого
выполнено ![{\displaystyle B\neq \varnothing ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d707795f9c2358b0989571eb3d3fc4294a447f87)
- для любых
существует
такое, что ![{\displaystyle B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7702cd311eefe15c56ec4b9500aecd0c0ce088cb)
Везде далее
— базис фильтра (база) множества
.
Пусть
. Число
называется пределом функции
по базе
если
- для любого
существует
такое, что для всех
выполнено неравенство ![{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f271d4911fadf23ac985294b11cd25a2c2e634b)
Обозначение предела по базе:
Пусть
— метрическое пространство и
. Точка
называется пределом функции
по базе
если
- для любого
существует
такое, что для всех
выполнено неравенство ![{\displaystyle \rho (f(x),a)<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c096e3952347d5646155db6bad8af3ed3b8b3ff)
Обозначение:
Пусть
— топологическое пространство и
. Точка
называется пределом функции
по базе
если
- для любой окрестности
точки
существует
такое, что
, то есть для всех
выполняется включение
.
Обозначение:
Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство
— хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).
Пусть
— топологическое пространство, и
Пусть
Тогда система множеств
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal {T}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c929e0373c402c97ae3460a5e39b7abf5ca176)
является базисом фильтра множества
и обозначается
или просто
Предел функции по базе
множества
называется пределом функции в точке
и обозначается записью
.
- Пусть
и
Тогда система множеств
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0408724d618f806ab93a01ea88b1a5d8f3d6b3e3)
является базисом фильтра и обозначается
или
Предел
называется правосторонним пределом функции
при
стремящемся к
- Пусть
и
Тогда система множеств
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad75c0c092eb92a2cc50e830a29479bc28636b28)
является базисом фильтра и обозначается
или
Предел
называется левосторонним пределом функции
при
стремящемся к
- Пусть
и
Тогда система множеств
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af502c043d5d40f7e27adc2bc38b94bf9ef25e48)
является базисом фильтра и обозначается
или
Предел
называется пределом функции
при
стремящемся к бесконечности.
- Пусть
и
Тогда система множеств
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c031664ea4fd8d7c0a6b55f7fa7502d008e4bb)
является базисом фильтра и обозначается
Предел
называется пределом функции
при
стремящемся к минус-бесконечности.
Система множеств
где
![{\displaystyle B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55efba16797f432f24b94088abd51b3be935869a)
является базисом фильтра и обозначается
Функция
называется числовой последовательностью, а предел
пределом этой последовательности.
Пусть
Назовём размеченным разбиением отрезка
пару
такую, что
Назовём диаметром разбиения
число
Тогда система множеств
где
![{\displaystyle B_{\delta }=\{T\in {\mathfrak {T}}\mid d(T)<\delta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5639a6570583d1abc3f15b1ac65cf2bb894ba350)
является базисом фильтра в пространстве
всех размеченных разбиений
Определим функцию
равенством
![{\displaystyle S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}),\quad T\in {\mathfrak {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dfe049c3018fb16ccdb0f37118500950897935)
Тогда предел
называется интегралом Римана функции
на отрезке
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.