Принцип двойственности (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Принцип двойственности в теории множеств — утверждение о свойствах операций над множествами.

Формулировка

[править | править код]

Пусть дано множество . Рассмотрим систему всех его подмножеств. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества , которая формулируется лишь с использованием операций объединения (), пересечения () и дополнения (), то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции объединения и пересечения соответственно операциями пересечения и объединения, пустого множества — множеством , а множества — пустым множеством.

  • Теорема. Для любых подмножеств , и множества верно, что .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: .

  • Теорема. Для любого подмножества множества верно, что .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: .

Важно отметить, что принцип двойственности применим только в тех случаях, когда утверждение теоремы постулирует равенство двух выражений над множествами; в других случаях он может нарушаться. Например, для любых подмножеств и множества верно, что ; однако двойственное утверждение () неверно.

Литература

[править | править код]