Псевдодуга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Псевдодуга — простейший пример континуума , который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

Построение

[править | править код]

Непрерывное отображение из отрезка на отрезок называется -скрюченным если для любых значений в интервале найдутся значения такие, что

и .

Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности -скрюченных отображений для подходящей последовательности достаточно быстро сходящейся к нулю.

Связанные определения

[править | править код]

  • Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие , такое, что тогда и только тогда, когда .
  • Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
  • Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • Существует область в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум гомеоморфен псевдодуге.
  • Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
  • В пространстве всех подконтинуумов куба , с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.[1]
  • Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером.[2] Вскоре пример был построен Кнастером[3].

Примечания

[править | править код]
  1. R.H. Bing, A homogeneous indecomposable plane continuum, Duke Math. J., 15 (1948), 729–742.
  2. Knaster, B.; Kuratowski, C. Sur les ensembles connexes. Fundamenta math. 2, 206—255 (1921).
  3. Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Fundamenta math. 3, 247—286 (1922).

Литература

[править | править код]
  • И. М. Виноградов. Псевдодуга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.