Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа $N$ и факторгруппа $Q$, и ищется расширение $G\supset N$ такое, что $G/N\cong Q$, или, что эквивалентно, такая $G$, что существует короткая точная последовательность:

$1\to N\to G\to Q\to 1$.

В этом случае говорят, что $G$ является расширением $Q$ при помощи $N$ (иногда используется другая формулировка: группа $G$ является расширением $N$ с помощью $Q$).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа $N$ лежит в центре группы $G$.

Примеры

Группы $\mathbb {Z} _{4}$ также как $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ являются расширениями $\mathbb {Z} _{2}$ при помощи $\mathbb {Z} _{2}$.

Очевидное расширение — прямое произведение: если $G=K\times H$, то $G$ является как расширением $H$, так и $K$. Если $G$ является полупрямым произведением групп $K$ и $H$ ($G=K\rtimes H$), то $G$ является расширением $H$ с помощью $K$.

Сплетения групп дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства

Если потребовать, что $G$ и $Q$ были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы $Q$ с помощью заданной (абелевой) группы $N$, фактически, является группой, которая изоморфна:

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа $G$ обладает максимальной нормальной подгруппой $N$ с простой факторгруппой $G/N$, все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды $\{A_{i}\}$, где каждая группа $A_{i+1}$ является расширением $A_{i}$ при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы $H$ при помощи $K$, или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

$1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1$

и

$1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1$

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы $T:G\to G'$, делающий коммутативной диаграмму:

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах.

Может случиться, что расширения $1\to K\to G\to H\to 1$ и $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ не эквивалентны, но $G$ и $G'$ изоморфны как группы. Например, имеется $8$ неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка $2$ с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение:

$1\to K\to G\to H\to 1$,

которое эквивалентно расширению:

$1\to K\to K\times H\to H\to 1$,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя $K\times H$.

Классификации расщепляемых расширений

Расщепляемое расширение — это расширение:

$1\to K\to G\to H\to 1$

с гомоморфизмом $s\colon H\to G$, таким что переход от $H$ к $G$ с помощью $s$, а затем обратно к $H$ по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на $H$, то есть $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$. В этой ситуации обычно говорят, что $s$ расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа $G$ является полупрямым произведением $K$ и $H$. Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам $H\to \operatorname {Aut} (K)$, где $\operatorname {Aut} (K)$ является группой автоморфизмов $K$.

Центральное расширение

Центральное расширение группы $G$ является короткой точной последовательностью групп

$1\to A\to E\to G\to 1$

такой что $A$ лежит в $Z(E)$ (центре группы $E$). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы $G$ с помощью $A$ (где $G$ действует тривиально на $A$) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий $H^{2}(G,A)$.

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы $G$ и любой абелевой группы $A$, полагая $E$ равным $A\times G$. Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку $G$ является подгруппой $E$) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу $0$ в $H^{2}(G,A)$ согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение.

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является точной последовательностью

$0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,$

такой что ${\mathfrak {a}}$ находится в центре ${\mathfrak {e}}$.

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева.

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы. Более точно, связное накрывающее пространство $G^{\ast }$ связной группы Ли $G$ является естественным центральным расширением группы $G$, при этом проекция

$\pi \colon G^{*}\to G$

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на $G^{\star }$ зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент $G$.) Например, когда $G^{\star }$ является универсальным накрытием группы $G$, ядро $\pi$ является фундаментальной группой группы $G$, которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли $G$ и дискретная центральная подгруппа $Z$, факторгруппа $G/Z$ является группой Ли, а $G$ является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы $A$, $E$ и $G$ в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы $G$ является ${\mathfrak {g}}$, алгеброй $A$ является ${\mathfrak {a}}$, а алгеброй $E$ является ${\mathfrak {e}}$, то ${\mathfrak {e}}$ является центральным расширением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с помощью $\mathbf {a}$. В терминологии теоретической физики генераторы алгебры ${\mathfrak {a}}$ называются центральными зарядами. Эти генераторы лежат в центре алгебры ${\mathfrak {e}}$. По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

• спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу;
• метаплектические группы, которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай $SL_{2}(\mathbf {R} )$ вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом ${\tfrac {1}{2}}$. Соответствующее проективное представление является представлением Вейля, построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также

• Расширение алгебры Ли
• Расширение кольца
• Алгебра Вирасоро
• HNN-расширение
• Расширение топологической группы

Литература

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and $H^{3}$.
• Group extensions  (неопр.). Group​Names. Дата обращения: 14 июня 2019.