Ряд Лиувилля — Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

[править | править код]

Будем искать решение уравнения Фредгольма

методом последовательных приближений, положив :

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

Функции называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на :

где  — мера множества , а .

Из этой оценки следует, что ряд

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

сходящимся в круге , поэтому при таких ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения при равномерно стремятся к искомой функции .

Литература

[править | править код]
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5..