Сильное псевдопростое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вероятно простое число — это число, которое проходит тест простоты. Сильное вероятно простое число — это число, которое проходит сильную версию теста простоты. Сильное псевдопростое число — это составное число, которое проходит сильную версию теста простоты.

Все простые числа проходят этот тест, но небольшая доля составных чисел также этот тест проходит, что делает их «ложно простыми».

В отличие от псевдопростых чисел Ферма, для которых существуют числа, псевдопростые по всем взаимно простым основаниям (числа Кармайкла), не существует составных чисел, сильных псевдопростых по всем основаниям.

Формальное определение

[править | править код]

Формально, нечётное составное число n = d • 2s + 1 с нечётным d называется сильным псевдопростым числом (Ферма) по основанию a, если выполняется одно из условий:

или

для некоторого

(Если число n удовлетворяет вышеприведённым условиям и мы не знаем, простое оно или нет, более точно называть его сильным вероятно простым по основанию a. Если же мы знаем, что n не простое, можно употреблять термин сильное псевдопростое число.)

Определение тривиально выполняется, если a ≡ ±1 mod n, так что эти тривиальные случаи часто исключаются.

Ричард Гай ошибочно дал определение только с первым условием, но ему удовлетворяют не все простые числа[1].

Свойства сильных псевдопростых чисел

[править | править код]

Сильное псевдопростое число по основанию a всегда является псевдопростым Эйлера — Якоби[англ.], псевдопростым Эйлера[англ.][2] и псевдопростым Ферма по этому основанию, но не все псевдопростые Эйлера и Ферма являются сильными псевдопростыми. Числа Кармайкла могут быть сильными псевдопростыми по некоторым основаниям, например, 561 является сильными псевдопростым по основанию 50, но не по всем базисам.

Составное число n является сильным псевдопростым максимум четверти всех оснований, меньших n [3][4]. Таким образом, нет «сильных чисел Кармайкла», чисел, которые являются сильными псевдопростыми для всех оснований. Следовательно, если задано случайное основание, вероятность, что число будет сильным псевдопростым по этому основанию, не превосходит 1/4, что используется в широко распространённом тесте Миллера — Рабина. Тем не менее, Арно[5] привёл 397-значное составное число, являющееся сильным псевдопростым по любому основанию, меньшему 307. Один из способов уберечься от объявления таких чисел вероятно простыми заключается в комбинации теста на сильное возможно простое число с тестом на псевдопростое число Люка, как в тесте Бейли — Померанца — Селфриджа — Уогстаффа.

Существует бесконечно много сильных псевдопростых по любому конкретному основанию[2].

Первые сильные псевдопростые по основанию 2

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ... (последовательность A001262 в OEIS).

По основанию 3

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ... (последовательность A020229 в OEIS).

По основанию 5

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, ... (последовательность A020231 в OEIS).

По основанию 4 см. A020230, а по основаниям от 6 до 100 см. последовательности от A020232 до A020326.

Если проверять вышеприведённые условия по нескольким основаниям, получаем более мощный тест на простоту, чем при использовании теста по одному основанию. Например, существует только 13 чисел, меньших 25•109, являющихся сильными псевдопростыми по основаниям 2, 3 и 5 одновременно. Они перечислены в таблице 7 в статье Померанса и Селфриджа[2]. Наименьшее такое число — 25326001. Это означает, что при n меньшем 25326001, если n является сильным возможно простым число по основаниям 2, 3 и 5, число n является простым.

Число 3825123056546413051 является наименьшим числом, одновременно являющимся сильным псевдопростым по 9 основаниям 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23[6] [7]. Так что при n меньшем 3825123056546413051, если n является сильным вероятно простым по этим 9 основаниям, то n является простым.

При осторожном выборе основания, не являющегося простым, можно построить даже лучшие тесты. Например, не существует составных чисел , сильных псевдопростых по всем семи основаниям 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 и 1795265022[8].

Наименьшее сильное псевдопростое по основанию n

[править | править код]
n Наименьшее n Наименьшее n Наименьшее n Наименьшее
1 9 33 545 65 33 97 49
2 2047 34 33 66 65 98 9
3 121 35 9 67 33 99 25
4 341 36 35 68 25 100 9
5 781 37 9 69 35 101 25
6 217 38 39 70 69 102 133
7 25 39 133 71 9 103 51
8 9 40 39 72 85 104 15
9 91 41 21 73 9 105 451
10 9 42 451 74 15 106 15
11 133 43 21 75 91 107 9
12 91 44 9 76 15 108 91
13 85 45 481 77 39 109 9
14 15 46 9 78 77 110 111
15 1687 47 65 79 39 111 55
16 15 48 49 80 9 112 65
17 9 49 25 81 91 113 57
18 25 50 49 82 9 114 115
19 9 51 25 83 21 115 57
20 21 52 51 84 85 116 9
21 221 53 9 85 21 117 49
22 21 54 55 86 85 118 9
23 169 55 9 87 247 119 15
24 25 56 55 88 87 120 91
25 217 57 25 89 9 121 15
26 9 58 57 90 91 122 65
27 121 59 15 91 9 123 85
28 9 60 481 92 91 124 25
29 15 61 15 93 25 125 9
30 49 62 9 94 93 126 25
31 15 63 529 95 1891 127 9
32 25 64 9 96 95 128 49

Примечания

[править | править код]
  1. Guy, 1994, с. 27-30.
  2. 1 2 3 Pomerance, Selfridge, Wagstaff, 1980, с. 1003–1026.
  3. Monier, 1980, с. 97-108.
  4. Rabin, 1980, с. 128-138.
  5. Arnault, 1995, с. 151–161.
  6. Zhang, Tang, 2003, с. 2085–2097.
  7. Yupeng Jiang, Yingpu Deng (2012). "Strong pseudoprimes to the first 9 prime bases". arXiv:1207.0063v1 [math.NT].
  8. SPRP Records. Дата обращения: 3 июня 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.

Литература

[править | править код]