Скашивание (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Скошенный куб — красные (исходные) грани куба уменьшились. Рёбра срезаны и образовали новые жёлтые грани. Вершины усечены с образованием синих треугольных граней.
Скошенные[англ.] кубические соты — фиолетовые кубы скошены. Рёбра срезаны с образованием новых синих кубических ячеек. Вершины усечены с образованием новых красных спрямлённых кубических ячеек.

Скашивание — операция в пространстве любой размерности, при которой срезаются рёбра и вершины правильного многогранника, создавая новые грани на месте каждого ребра и вершины. Операцию можно применять к правильным мозаикам и сотам. Операция также является спрямлением полного усечения многогранника.

Операция (для многогранников и мозаик) также называется расширением (согласно Стотт[англ.]), поскольку эту операцию можно представить как движение граней (в сторону удаления от центра многогранника), а на месте образовавшихся щелей образуются новые грани.

Обозначения

[править | править код]

Операция представляется расширенным cимволом Шлефлиl t0,2{p,q,...}, или , или rr{p,q,...}.

Для многогранников операция скашивания даёт последовательность многогранников от правильного многогранника до его двойственного.

Пример последовательности от куба до октаэдра

[править | править код]

Для многогранников больших размерностей скашивание даёт последовательность из правильного многогранника до его полного усечения. Кубооктаэдр можно рассматривать как полное усечение, например, тетраэдра.

Примеры многогранников и мозаик

[править | править код]
Однородные многогранники и мозаики
Многогранники Мозаики
Коксетер rTT rCO rID rQQ rHΔ
Нотация
Конвея
eT eC = eO eI = eD eQ eH = eΔ
Расширенные
многогранники
Тетраэдр Куб или
Октаэдр
Икосаэдр или
Додекаэдр
Квадратная мозаика Шестиугольная мозаика
Треугольная мозаика
Рисунок
Вращающиеся
2-однородные многогранники
Коксетер rrt{2,3} rrs{2,6} rrCO rrID
Нотация
Конвея
eP3 eA4 eaO = eaC eaI = eaD
Расширенные
многогранники
Треугольная призма или
Треугольная бипирамида
Квадратная антипризма или
Четырёхугольный трапецоэдр
Кубооктаэдр или
Ромбододекаэдр
Икосододекаэдр или
Ромботриаконтаэдр
Рисунок
Вращающиеся

Литература

[править | править код]
  • H.S.M. Coxeter. Chapter 8: Truncation, p. 210 Expansion // Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — P. 145—154. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966