Словарная метрика на группе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Словарная метрика — способ задавать расстояния на конечнопорождённой группе.

Конструкция

[править | править код]

Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих в конечнопорождённой группе , то расстояние между элементами и  — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное .

  • Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
    • Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
  • Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
  • Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант имеет место:
    .
  • В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.

  • J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4