Слоение Риба

Слоение Риба — слоение на трёхмерной сфере. Построенное французским математиком Жоржем Рибом.

Определение

Компонента Риба представляет собой полноторие $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ со слоением, устроенным следующим образом: граница полнотория $\mathbb {T} ^{2}$ является слоем. Все остальные слои диффеоморфны плоскости $\mathbb {R} ^{2}$; их можно представить как образ графика функции $f\colon \mathbb {D} ^{2}\to \mathbb {R}$

$f(x)={\frac {1}{1-|x|^{2}}}$

для накрытия $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$.

Слоение Риба на сфере $\mathbb {S} ^{3}$ получается при склеивании этой сферы из двух компонент Риба.

Свойства

• Слоение Риба является гладким, но не аналитическим, что связано с тем, что отображение голономии вдоль параллели или меридиана в компактном слое является тождественным с одной стороны от соответствующей тору точке, и не тождественным с другой.
  • На самом деле, на сфере $\mathbb {S} ^{3}$ не бывает аналитических слоений коразмерности 1.

• Слоение Риба кобордантно нулю.

• Класс Годбийона-Вея для слоения Риба равен нулю.

Иллюстрации

Слоение Риба в сечении центральной плоскостью

Трехмерная модель слоения Риба для одного полнотория

Литература

• G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuillétées, Actualités Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris, 1952.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Reeb Foliation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• На Викискладе есть медиафайлы по теме Слоение Риба