Сопряжённый оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

[править | править код]

Преобразование называется сопряжённым линейному преобразованию , если для любых векторов и выполнено равенство . У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой , если пространство евклидово, и формулой в унитарном пространстве. здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид и соответственно.

Общее линейное пространство

[править | править код]

Пусть  — линейные пространства, а  — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал  — суперпозиция и : . Отображение называется сопряжённым линейным оператором и обозначается .

Если кратко, то , где  — действие функционала на вектор .

Топологическое линейное пространство

[править | править код]

Пусть  — топологические линейные пространства, а  — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал  — суперпозиция и : . Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также .

Банахово пространство

[править | править код]

Пусть  — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство [1] и пусть  — сопряжённые пространства. Обозначим . Если  — фиксировано, то  — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .

называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для справедливы следующие свойства:

  • Оператор  — линейный.
  • Если  — линейный непрерывный оператор, то также линейный непрерывный оператор.
  • Пусть  — нулевой оператор, а  — единичный оператор. Тогда .
  • .
  • .
  • .
  • .

Гильбертово пространство

[править | править код]

В гильбертовом пространстве теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора равенство определяет сопряжённый оператор . Здесь  — скалярное произведение в пространстве .

Примечания

[править | править код]
  1. Пространства предполагаются комплексными

Литература

[править | править код]
  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
  • Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
  • Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.