Список кубик классификации Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Следующие таблицы — списки 78 кубик первой классификации Ньютона[1][2].

Класс I. Гиперболическая гипербола

[править | править код]

Здесь описан класс I гиперболических гипербол, (англ. Class I. Redundant Hyperbolas[2]).[3]

Гиперболическая гипербола

имеет три обыкновенные асимптоты

пересекающиеся в вершинах следующего асимптотического треугольника[4]:

Гиперболическая гипербола пересекает три свои асимптоты на конечном расстоянии в следующих трёх точках (у Смогоржевского и Столовой опечатка: в ординате не хватает множителя )[5], лежащих на одной прямой[6]:

Род 1. Адиаметралъная гиперболическая гипербола

[править | править код]

Здесь представлена таблица со списком рода 1 адиаметралъных гиперболических гипербол, . Будем также полагать, что (англ. Genus 1. Adiametral Redundant Hyperbolas[2])[7].

Адиаметралъная гиперболическая гипербола (без диаметров) имеет характеристическое уравнение

а также и пусть — его корни[4].

Рассматривая уравнение гиперболической гиперболы как квадратное относительно получаем:

где действительное или мнимое значение переменной определяет знак подкоренного выражения, то есть знак левой части уравнения гиперболической гиперболы[4].

Отметим следующую гиперболу и её свойства[5]:

  • эта гипербола делит пополам каждую хорду адиаметралъной гиперболической гиперболы, перпендикулярную к оси абсцисс;
  • эта гипербола пересекает адиаметралъную гиперболическу гиперболу в следующих точках и только в них:

Существует девять разных адиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8].

Адиаметралъные гиперболические гиперболы, ,
Описание[7] Изображение,
1 1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например,

На графике овал находится внутри асимптотического треугольника.

2 2. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,
3 3. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например,
4 4. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше или меньше остальных разных корней, например,

На графике точка самопересечения лежит внутри асимптотического треугольника.

5 5. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше одного и меньше другого остальных разных корней, например,

На графике изолированная точка лежит внутри асимптотического треугольника.

6 6. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например,

На графике касп лежит внутри асимптотического треугольника.

7 7. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

Имеем:

8 8. Два корня характеристического уравнения — равные действительные, два комплексно сопряжённых, например,
9 9. Все корни характеристического уравнения — комплексные попарно сопряжённые, например,

Род 2. Монодиаметралъная гиперболическая гипербола

[править | править код]

Здесь представлена таблица со списком рода 2 монодиаметралъных гиперболических гипербол, , , (англ. Genus 2. Monodiametral Redundant Hyperbolas[2])[9].

Монодиаметралъная гиперболическая гипербола имеет один диаметр

и характеристическое уравнение

и пусть — его корни[4].

Ньютон относит к этому роду двенадцать разных монодиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8].

Монодиаметралъные гиперболические гиперболы,
Описание[9] Изображение,
10 1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например,

На графике овал находится внутри асимптотического треугольника.

11 2. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и например,
12 3. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и например,
13 4. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и например,
14 5. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и например,
15 6. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше третьего и меньше четвёртого, например,

На графике изолированная точка лежит внутри асимптотического треугольника.

16 7. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше разных остальных, например,

На графике точка самопересечения лежит внутри асимптотического треугольника.

17 8. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например,

На графике касп лежит внутри асимптотического треугольника.

18 9. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

и одинаковых знаков, причём

Имеем:

19 10. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

и одинаковых знаков, причём

20 11. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

и разных знаков, причём и

При имеем , то есть гиперболическая гипербола имеет род 4.

21 12. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

и разных знаков, причём и

Род 3. Тридиаметралъная гиперболическая гипербола

[править | править код]

Здесь представлена таблица со списком рода 3 тридиаметралъных гиперболических гипербол, , (англ. Genus 3. Tridiametral Redundant Hyperbolas[2])[10].

Тридиаметралъная гиперболическая гипербола при имеет три диаметра

и характеристическое уравнение

и пусть — его корни[11].

Это характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Пусть В этих условиях получаем следующее уравнение гиперболической гиперболы[11]:

Перепишем условие

откуда получаем следующее выражение для , решая квадратное уравнение[11]:

Ньютон относит к этому роду два вида разных тридиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8][11]. Для первого вида переменные и имеют одинаковые знаки, для второго — разные[12].

Тридиаметралъные гиперболические гиперболы,
Описание[7] Изображение,
22 1. Например, корни характеристического уравнения —

где

23 2. Например, корни характеристического уравнения —

где

Род 4. Гиперболическая гипербола с асимптотами, пересекающимися в одной точке

[править | править код]

Здесь представлена таблица со списком рода 4 гиперболических гипербол с асимптотами, пересекающимися в одной точке, (англ. Genus 1. Redundant Hyperbolas with asymptotes concurrent[2]). Эти кривые получаются стягиванием в точку асимптотического треугольника у адиаметралъных, монодиаметралъных и тридиаметральны гиперболических гипербол, всего девять случаев[12].

Гиперболические гиперболы с асимптотами, пересекающимися в одной точке,
Описание[12] Изображение
Адиаметралъные гиперболические гиперболы,
24 1. Получается из типа 7 рода 1. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,

Имеем:

25 2. Получается из типа 3 (или 8) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например,
26 3. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,

График адиаметралъной гиперболической гиперболы не проходит через точку пересечения асимптот.

27 4. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,

График адиаметралъной гиперболической гиперболы проходит через точку пересечения асимптот.

Монодиаметралъные гиперболические гиперболы,
Тридиаметралъные гиперболические гиперболы,

Примечания

[править | править код]
  1. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 7—28.
  2. 1 2 3 4 5 6 Ball W. W. Rouse Newton's classification of cubic curves, 1891, 38.
  3. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 7—17.
  4. 1 2 3 4 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 9.
  5. 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 10.
  6. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 28.
  7. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 9—13.
  8. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 8.
  9. 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 13—16.
  10. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 16—17.
  11. 1 2 3 4 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 16.
  12. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 17.
  • Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
  • Ball W. W. Rouse[англ.] Newton's classification of cubic curves, Proc. London Math. Soc. 1891. Vol. 50, Iss. 2. P. 35–40.