Теорема Коши — Ковалевской

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка

[править | править код]

Рассмотрим пространство . Точку пространства будем обозначать через , а точку, принадлежащую , через . Обозначим оператор частного дифференцирования

Предположим, что коэффициенты оператора определены в окрестности начала координат в пространстве переменных и являются аналитическими функциями. Пусть функция также аналитична в . Пусть вектор начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат  — пространства. Тогда существуют окрестность начала координат и единственная аналитическая функция , определённая в , для которой

Доказательство

[править | править код]

Положим

Тогда из вытекает, что

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для равны нулю. Перепишем в виде

где  — полином по степени , коэффициенты которого аналитичны в окрестности начала координат. Легко видеть, что коэффициенты разложения в ряд Тейлора

определяются однозначно уравнением и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда .

Для доказательства сходимости ряда используются мажорантные ряды и полиномы. Функция называется мажорантным рядом для в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов разложения функции в ряд Тейлора, то есть .

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

Литература

[править | править код]