Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе[1] .
λ
k
=
inf
L
k
sup
x
∈
L
k
∩
S
(
A
x
,
x
)
{\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)}
A
{\displaystyle A}
— линейный самосопряжённый оператор , действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,
S
{\displaystyle S}
— единичная сфера,
e
=
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle e=e_{1},\dots ,e_{n}}
— ортонормированный базис пространства
V
{\displaystyle V}
, состоящий из собственных векторов оператора
A
{\displaystyle A}
,
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
—
k
{\displaystyle k}
-ое собственное значение оператора
A
{\displaystyle A}
и
λ
1
≤
λ
2
≤
⋯
≤
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}
L
k
{\displaystyle L_{k}}
—
k
{\displaystyle k}
-мерное подпространство
V
{\displaystyle V}
.
p
=
n
−
k
+
1
{\displaystyle p=n-k+1}
,
L
k
{\displaystyle L_{k}}
—
k
{\displaystyle k}
-мерное подпространство
V
{\displaystyle V}
,
W
n
−
k
+
1
{\displaystyle W_{n-k+1}}
— линейная оболочка векторов
e
k
…
e
n
{\displaystyle e_{k}\dots e_{n}}
.
dim
L
k
+
dim
W
n
−
k
+
1
=
n
+
1
{\displaystyle \dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1}
.
Откуда следует, что
L
k
∩
W
n
−
k
+
1
≠
∅
{\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }}
.
Пусть
x
0
∈
L
k
∩
W
n
−
k
+
1
{\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}}
и
‖
x
0
‖
=
1
{\displaystyle \ \|x_{0}\|=1}
.
Так как
λ
k
=
inf
x
∈
W
n
−
k
+
1
∩
S
(
A
x
,
x
)
,
{\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{x\in W_{n-k+1}\cap S}(Ax,x),}
то
(
A
x
0
,
x
0
)
≥
λ
k
{\displaystyle (Ax_{0},x_{0})\geq \lambda _{k}}
.
С другой стороны: так как
x
0
∈
L
k
{\displaystyle x_{0}\in L_{k}}
то
sup
x
∈
L
k
∩
S
(
A
x
,
x
)
≥
λ
k
{\displaystyle \sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}
inf
L
k
sup
x
∈
L
k
∩
S
(
A
x
,
x
)
≥
λ
k
{\displaystyle \inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}
Равенство достигается при
L
k
=
L
(
e
1
…
e
k
)
{\displaystyle L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})}
.
Очевидно, что
sup
L
k
inf
x
∈
L
k
∩
S
(
A
x
,
x
)
=
inf
L
n
−
k
+
1
sup
x
∈
L
n
−
k
+
1
∩
S
(
A
x
,
x
)
{\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)}
.
↑ Ли Цзун-дао . Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190
Р. Беллман. Введение в теорию матриц
Ланкстер. Теория Матриц
Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия