Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее[1]:

Если — различные алгебраические числа, линейно независимые над , то являются алгебраически независимыми над , то есть, степень трансцендентности расширения равна

Часто используется другая эквивалентная формулировка[2]:

Для любых различных алгебраических чисел числа являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел .

В 1882 году Линдеман доказал, что трансцендентно для любого ненулевого алгебраического [3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

[править | править код]

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число является алгебраическим. Тогда число , где мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу , что вызывает противоречие. Следовательно, число трансцендентно.

Примечания

[править | править код]
  1. Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
  3. F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.

Литература

[править | править код]
  • Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
  • Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4