Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности.

Доказательство

[править | править код]

Рассмотрим прямые и , заданные как линии пересечения плоскостей:

Прямые и целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через каждую точку поверхности проходит единственная прямая из семейства и единственная прямая из семейства . Эти прямые (то есть пары чисел и ) находятся из однородных систем линейных алгебраических уравнений:

матрицы которых вырождены (то есть системы имеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (то есть все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов).