Теория интегрируемых систем

Теория интегрируемых систем — раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии.

С-интегрируемые системы

Под С-интегрируемыми понимают такие системы, решения которых могут быть представлены в явном виде не сложнее, чем через квадратуры — интегралы, зависящие от начальных данных задачи.

Гамильтоновы интегрируемые системы и метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния подразумевает, что уравнение в частных производных можно представить в виде пары Лакса — системы двух линейных операторов, условием совместности которых будет рассматриваемая система.

Примеры

• уравнение синус-Гордона

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial x}}=\sin u\qquad u=u(x,t)$

есть условие совместности системы ${\frac {\partial {\vec {\psi }}}{\partial t}}=-{\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}0&\exp(iu)\\\exp(iu)&0\end{pmatrix}}{\vec {\psi }},\qquad {\frac {\partial {\vec {\psi }}}{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-i{\frac {\partial u}{\partial x}}&\lambda \\\lambda &i{\frac {\partial u}{\partial x}}\end{pmatrix}}{\vec {\psi }},\qquad {\vec {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x,t)\\\psi _{2}(x,t)\end{pmatrix}}$

• нелинейное уравнение Шрёдингера
• уравнение Кортевега — де Фриза

Интегрируемые цепочки

Примеры

• Цепочка Тоды
• Цепочка Бенни

См. также

• Солитон
• Нелинейная динамика
• нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Кортевега — де Фриза
• Уравнение синус-Гордона

Литература

• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Шрёдингера уравнение нелинейное — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.
• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М., 1987.
• Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983.
• Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев — Гамильтонов подход в теории солитонов.- М.; Наука, 1986, 527 стр.
• Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. - М., Наука, 1990. - 240 с.