Теория размерности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.

Типы размерностей

[править | править код]

Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности ) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность ). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.

Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.

Определение по Урысону

[править | править код]

Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей[1].

Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность , если оно не является , но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна[2].

Точку множества отделяет от точки множество если в фигуре не существует связного множества, которое содержит точки и и не пересекается с .

Топологическая фигура размерности определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей [3][4].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — ИЛ, 1948.
  • Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
  • Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М.: Наука, 1969. — 159 с.