Размерность Лебега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Топологическая размерность»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .

Определение

[править | править код]

Для метрических пространств

[править | править код]

Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;

При этом

  • -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
  • кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

[править | править код]

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .

При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .

  • Неравенство
выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства и :
  • метризуемость,
  • компактность,
  • локальная компактность и паракомпактность.
Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
  • Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство имеет размерность тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия пространства существует вписанное покрытие , которое состоит из подсемейств таких, что каждое подсемейство состоит из непересекающиеся между собой множеств.

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Примечания

[править | править код]
  1. Wage, Michael L. The dimension of product spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. — 1978. — Т. 75, № 10. — С. 4671–4672. — doi:10.1073/pnas.75.10.4671.

Литература

[править | править код]
  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973