Третья квадратичная форма

Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается $\mathbf {I\!I\!I}$.

Определение

Пусть $S$ обозначает оператор формы гладкой поверхности $\Sigma$. Кроме того, пусть $u$ и $v$ — элементы касательного пространства $T_{p}$ в точке $p\in \Sigma$. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

$\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .$

Свойства

• Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

• Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.

  $\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$

где $H$ — средняя кривизна поверхности и $K$ — гауссова кривизна поверхности.

• Поскольку оператор формы самосопряжён, для $u,v\in T_{p}(M)$ мы имеем

  $\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle$.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Вторая квадратичная форма