Тригонометрическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике тригонометрическое число (англ. trigonometric number)[1] — иррациональное число, полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи, или синус или косинус рационального числа градусов.

Вещественное число, отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы.

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен[1], впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков[2].

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы. Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом. Последнее утверждение можно доказать[1], взяв за основу формулу Муавра для случая для взаимно простых k и n:

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в и подставляя , получаем уравнение полинома, имеющее своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу Наконец, , где является рациональным, кратным , является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на для получения полиномиального уравнения в

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Niven, Ivan. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monographs no. 11, 1956.
  2. Li Zhou and Lubomir Markov. Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2010. — Vol. 117. — P. 360—362. — doi:10.4169/000298910x480838. https://arxiv.org/abs/0911.1933 Архивная копия от 7 февраля 2019 на Wayback Machine