Трилинейные поляры треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Построение трилинейной поляры точки Y

Трилинейные поляры треугольника — некоторые специальные виды прямой линии, связанные с плоскостью треугольника и лежащие в плоскости треугольника. Трилинейная поляра точки Y (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y). Здесь чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.

Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трех сторон опорного треугольника ABC в трех точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трех чевиан образует гармоническую четвёрку точек, лежащих на каждой из трех сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это - три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.

Примеры трилинейных поляр треугольника

[править | править код]
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) - трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)
  • Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая ось DEF(antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC.
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) - трилинейная поляра ортоцентра
  • Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида
Построение трилинейной поляры точки Y
  • Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида (см. рис.)
Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом
  • Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
Трилинейная поляра центра описанной окружности — прямая EDF, показанная красным цветом
  • Трилинейная полярой центра описанной окружности служит прямая EDF (см. рис.)
Трилинейная поляра точки Коснита — красная прямая EDF
  • Трилинейнай полярой точки Коснита, изогонально сопряженной для центра окружности девяти точек, служит прямая EDF (см. рис.)
  • Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)
  • Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки .

Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра показана красным цветом.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Kimberling, Clark. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1994. — June (vol. 67, no. 3). — P. 163—187. — doi:10.2307/2690608.
  2. Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles (неопр.). — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — С. 285. Архивировано 10 марта 2016 года.