Упаковка кругов в правильном треугольнике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28[1][2][3].

Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда n является треугольным числом, оптимальная упаковка n − 1 и n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки n кругов[4][5].

Минимальные по длине стороны треугольника решения[1]:

Число кругов Длина стороны треугольника
1 = 3.464...
2 = 5.464...
3 = 5.464...
4 = 6.928...
5 = 7.464...
6 = 7.464...
7 = 8.928...
8 = 9.293...
9 = 9.464...
10 = 9.464...
11 = 10.730...
12 = 10.928...
13 = 11.406...
14 = 11.464...
15 = 11.464...

Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом[6].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Melissen, 1993, с. 916–925.
  2. Melissen, Schuur, 1995, с. 333–342.
  3. Graham, Lubachevsky, 1995, с. 39 Article 1.
  4. Oler, 1961, с. 153–155.
  5. Payan, 1997, с. 555–565.
  6. Nurmela, 2000, с. 241–250.

Литература

[править | править код]