Уравнение Лондонов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона

[править | править код]

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

где  — плотность тока,  — магнитная индукция, , m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения

[править | править код]

При помощи уравнения Максвелла можно записать уравнение Лондона в виде[4]

где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом МейсснераОксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими , есть

где  — индукция на глубине под поверхностью. Параметр имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину . Для металлов мкм.

Природа сверхпроводимости

[править | править код]

Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал , где , используя калибровку и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением

.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом . При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов

[править | править код]

Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид

где , ,  — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно, получим первое уравнение Лондонов:

Второе уравнение Лондонов (вывод)

[править | править код]

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде

для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

где

Также объёмная плотность магнитной энергии равна , тогда свободная энергия может быть записана в виде ( — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:

Первая вариация по полю равна

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

что вместе с выражением для векторного потенциала , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов , даёт искомое уравнение:

Примечания

[править | править код]
  1. London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor (англ.) // Proc. Roy. Soc. (London) : journal. — 1935. — March (vol. A149, no. 866). — P. 71.
  2. F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
  3. P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).
  4. Сивухин. Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т III. Электричество. — 4-е издание. — М.: МФТИ, 2004. — С. 321–322. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3. — ISBN 5-89155-086-5.

Литература

[править | править код]
  • Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.