Функции Кельвина

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

$x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^{2})f=0$

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname {ber} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)$

$\operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)$

где $I_{\nu }(x)$ — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

$\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом: $\operatorname {ker} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)$

$\operatorname {kei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)$

где $K_{\nu }(x)$ — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

$\mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

${\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}$

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

$\operatorname {her} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)$

$\operatorname {hei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)$

где $H_{\nu }^{(1)}(x)$ — функция Ханкеля первого рода.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Кузнецов Д. С. - "Специальные функции" - 1962