Число Понтрягина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Число Понтрягинахарактеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

[править | править код]

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и разбиение числа , то есть набор натуральных чисел, таких что .

Рациональное число

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению , здесь обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

  • Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
    • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
  • Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на , .
  • Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (-род) замкнутого спинорного многообразия , то есть индекс оператора Дирака на .